上篇博客我们了解了AVL树，这篇博客就让我们来看看另外一个二叉树：红黑树
使用的编译器：VS2019
[TOC]
博客里面引用了一些百度搜到的图片（自己懒的画了，呜呜）
1.概念
AVL树是一个几乎完全平衡的搜素二叉树，其左右子树的高度差不会超过1。与之相对应的，是每一次插入都有可能需要旋转多次，插入的效率较低。
而红黑树则选择了“相对平衡”，并拥有以下的特性：
-
红黑树可以保证最长路径的小于最短路径的2倍
-
比如最短路径为30，那么最长路径就不能超过60
对于cpu来说，AVL树遍历20次（百万级数据）和红黑树遍历40次的时间差距极小。所以红黑树即保持了相对平衡，又减小了AVL树多次旋转的消耗。
1.1 性质
其通过下面的几点来维持这一性质：
- 每一个节点不是红色就是黑色
- 根节点一定是黑色
- 每一个红节点的左右子树都是黑色
- 每一个到叶子（空节点NIL）的支路上黑节点数量相同
- 叶子节点（空节点NIL）视作黑色
为什么满足了这几个情况，就满足了红黑树的最长路径的小于最短路径的2倍的性质呢？
约束4和5，保证了红黑树的大致平衡：根到叶子的所有路径中，最长路径不会超过最短路径的2倍。
这使得红黑树在最坏的情况下，也能有O(logN) 的查找效率
- 黑色高度为3时，最短路径：黑色→ 黑色 →黑色
- 最长路径：黑色→红色 →黑色 →红色 →黑色
- 此时最短路径的长度为2（不算Nil的叶子节点），最长路径为4
这里可以得出一个普遍规律，红黑树最短路径即为全黑路径。而最长路径是一黑一红间隔的情况
1.2 时间复杂度
平衡二叉树（AVL树）和红黑树都是常用的自平衡二叉搜索树。它们的查询操作的平均时间复杂度都为O(log n)，其中n是树中节点的数量。
在平衡二叉树中，任意节点的左子树和右子树的高度差不超过1，通过局部旋转操作可以保持平衡。这样，树的高度始终保持在O(log n)的水平，从而使得查询操作的时间复杂度为O(log n)。
根据上文提到的红黑树性质，红黑树的高度也会始终保持在O(log n)的水平，因此查询操作的时间复杂度也为O(log n)。实际上，红黑树的增删改时间复杂度都是O(log n)，因为本质上都是一次查找找到目标节点的位置，再进行常数级别的翻转/删除操作。
2.设计一颗红黑树
在设计红黑树的时候，我们需要牢记上面的5点。其中前4点非常重要且不可以被破坏。一旦被破坏，就影响了红黑树的基本性质。
2.1 设计节点
和AVL树一样，我们需要把节点单独成一个类，来存放我们需要的pair
这里就设计到了颜色的初值应该给什么。红色，还是黑色？
来看看性质3和4：
- 红色的左右子树必须是黑色
- 每一个到叶子（空节点NIL）的支路上黑节点数量相同
简单思考，即可发现，插入红节点的时候，更好控制。而插入黑节点极有可能破坏性质4且较难修复。
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
|
enum Color
{
RED,
BLACK,
};
template<class K, class V>
struct RBTreeNode
{
RBTreeNode<K, V>* _left;
RBTreeNode<K, V>* _right;
RBTreeNode<K, V>* _parent;
pair<K, V> _kv;
Color _col;
RBTreeNode(const pair<K, V>& kv)
:_kv(kv),
_left(nullptr),
_right(nullptr),
_parent(nullptr),
_col(RED)
{}
};
|
2.2 插入的几种情况
节点设计好了，我们只需要把插入的逻辑搞定，那么红黑树也就完成了！
前半部分的代码和AVL树完全相同，只不过我们需要手动给根节点一个黑色（默认是红色）以维持性质2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
| bool Insert(const pair<K, V>& kv)
{
if (_root == nullptr)
{
_root = new Node(kv);
_root->_col = BLACK;
return true;
}
Node* parent = nullptr;
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (cur->_kv.first < kv.first)
{
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else if (cur->_kv.first > kv.first)
{
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else {
return false;
}
}
cur = new Node(kv);
if (parent->_kv.first < kv.first)
{
parent->_right = cur;
}
else
{
parent->_left = cur;
}
cur->_parent = parent;
}
|
2.2.1 情况1：无需旋转
在下面的这种情况中，我们在p的左边插入了一个cur新节点。此时违反了性质3，红节点的孩子必须要是黑节点。
这种情况必须满足p和u都是红节点
随后我们就需要开始向上进行更新，操作如下：
修改之后的结果如下，即不影响性质3；也保证了黑节点的个数不变，维持了性质4
需要注意的是，这里的g不一定是根节点。所以在操作完这一课子树之后，我们需要继续向上进行操作，避免g的父节点是红色的情况。
代码实现如下（以父节点为g的左子树为例）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
|
while (parent && parent->_col==RED)
{
if (parent == grandpa->_left)
{
Node* uncle = grandpa->_right;
if (uncle && uncle->_col == RED)
{
uncle->_col = BLACK;
parent->_col = BLACK;
grandpa->_col = RED;
cur = grandpa;
parent = cur->_parent;
}
}
else{
}
}
|
需要注意的是，这种调整会把g改成红节点。如果G是根节点，改成红色之后就不符合性质了。所以我们需要在操作完成之后，统一把根节点改成黑色
2.2.2 情况2：需要单旋
当我们插入了一个cur向上更新的时候，就可能会遇到下图中间的情况。p是红节点，违反了性质3，而u是黑节点，不能简单粗暴的通过把p改成红来解决。
这时候我们就需要针对g进行一次单旋（图中是右单旋，可以简单理解为向u旋转）。因为cur和p形成了同侧的连续两个红节点。和AVL树的单旋情况相似，只有这两节点在同侧，才可以执行单旋。
旋转完毕之后，需要把g更新为红节点，p更新为黑节点
2.2.3 情况3：需要双旋
在情况2中，p和cur都是在它们父亲的同一侧。而情况3就是p和cur在父亲的不同侧。
- 比如p是g的左子树，cur是p的右子树
- 同时满足p是红，u是黑
这时候就需要进行一次三旋，操作如下：
- 以p作为基点，向cur的另外一个方向单旋一次（上图中就是左旋）
- 旋转了之后，就会变成情况2
- 这时候再以g为基点，向u的方向旋转一次（上图中为右旋）
- 旋转完成之后，把g设置为红，cur设置为黑即可
一下是完整的三种情况代码（p是g的左子树的情况）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
|
if (parent == grandpa->_left)
{
Node* uncle = grandpa->_right;
if (uncle && uncle->_col == RED)
{
uncle->_col = BLACK;
parent->_col = BLACK;
grandpa->_col = RED;
cur = grandpa;
parent = cur->_parent;
}
else
{
if (cur == parent->_left)
{
RotateR(grandpa);
parent->_col = BLACK;
grandpa->_col = RED;
}
else
{
RotateL(parent);
RotateR(grandpa);
grandpa->_col = RED;
cur->_col = BLACK;
}
break;
}
}
else{
}
|
由于篇幅限制，p是g右子树的情况就不贴出来了，实际上就是把上面的代码全反过来就行了
完整代码请查看我的gitee仓库
2.3 查找（和AVL树完全相同）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
|
Node* _FindR(Node* root, const K& key)
{
if (root == nullptr)
return nullptr;
if (root->_kv.first < key)
{
return _FindR(root->_right, key);
}
else if (root->_kv.first > key)
{
return _FindR(root->_left, key);
}
else
{
return root;
}
}
Node* FindR(const K& key)
{
return _FindR(_root, key);
}
|
2.4 判断是否是红黑树
有两种方案，1是可以通过计算最大高度/最小高度进行间接判断，2是以红黑树性质来验证是否满足最上面提到的5点
2.4.1 计算最小最大高度
这里实现递归即可，最小长度其实就是在最后return的判断中，把大于号改成小于号，返回小的那个子树的高度+1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
| int maxHeight(){
return _maxHeight(_root);
}
int minHeight() {
return _minHeight(_root);
}
int _maxHeight(Node* root)
{
if (root == nullptr)
return 0;
int lh = _maxHeight(root->_left);
int rh = _maxHeight(root->_right);
return lh > rh ? lh + 1 : rh + 1;
}
int _minHeight(Node* root)
{
if (root == nullptr)
return 0;
int lh = _minHeight(root->_left);
int rh = _minHeight(root->_right);
return lh < rh ? lh + 1 : rh + 1;
}
|
只要最大长度小于最小长度的2倍，那么基本规则就是没有破坏的
但这还不够，我们还需要检查它是否满足红黑树的其余性质
2.4.2 递归检查性质
这里再次列出5点性质
- 每一个节点不是红色就是黑色
- 根节点一定是黑色
- 每一个红节点的左右子树都是黑色
- 每一个到叶子（空节点NIL）的支路上黑节点数量相同
- 叶子节点（空节点NIL）视作黑色
然后通过两个函数来实现，其中一个函数需要进行递归
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
| bool IsRBTree()
{
Node* pRoot = _root;
if (nullptr == pRoot)
return true;
if (BLACK != pRoot->_col)
{
cout << "违反2：根节点必须为黑色" << endl;
return false;
}
size_t blackCount = 0;
Node* pCur = pRoot;
while (pCur)
{
if (BLACK == pCur->_col)
blackCount++;
pCur = pCur->_left;
}
size_t k = 0;
return _IsValidRBTree(pRoot, k, blackCount);
}
bool _IsValidRBTree(Node* pRoot, size_t k, const size_t blackCount)
{
if (nullptr == pRoot)
{
if (k != blackCount)
{
cout << "违反4：每条路径中黑色节点的个数必须相同" << endl;
return false;
}
return true;
}
if (BLACK == pRoot->_col)
k++;
if (RED == pRoot->_col && pRoot->_parent && pRoot->_parent->_col == RED)
{
cout << "违反3：存在连在一起的红色节点" << endl;
return false;
}
return _IsValidRBTree(pRoot->_left, k, blackCount) &&
_IsValidRBTree(pRoot->_right, k, blackCount);
}
|
可以看到，不管是随机数还是顺序插入，都通过了检查
3.红黑树的运用
红黑树在很多地方都有使用，在C++中，最为经典的便是map和set这两个容器，它们便使用了红黑树作为底层逻辑
https://gitee.com/musnow/learn_cpp_code/blob/master/STL-Sourcecode/stl_tree.h
在stl源码中，我们可以找到这个tree.h，里面便是一个红黑树的实现。而map和set就是调用了红黑树，只做了一个简单的封装
结语
在下篇博客中，我会记录map和set的基本使用，以及通过红黑树模拟实现map和set
感谢大家支持！
爱发电
